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複雑系経済学の現在

塩　沢　由　典　　.

塩沢由典他編
『経済学の現在（１）』日本経済評論社、2004年11月
第２章

補足：定理１の証明
１．複雑系経済学の歴史
複雑系の思想
経済学における反省
日本における複雑系ブーム
さまざまな立場
２．諸学問における位置と関係
一般均衡理論の枠組み問題
最適化と決定の数学
社会科学の基礎として
３．経済行動
複雑な状況における目的行動
進化と行動
熟練と組織行動
定型行動の基本構造
習慣的行動と純正の決定
４．過程分析
時間因果の尊重
定型行動と過程分析
調整の時間尺度
価格調節と数量調節
５．結合関係
緩やかな結合系
切り離し機能
所有制度
６．経済の原理
交換の原理
学説史に関する注意
価格と等価交換
分散した知識の有効な利用
価格と技術選択
７．競争の原理
８．選択と進化
選択の水準
前提とすべき状況
進化するもの
過剰適応・過剰学習
９．知　識
支えとしての知識
知識の共同体
10．経済システムの特性と経済学の方法
経済のシステム特性
自己組織するシステム
ミクロ・マクロ・ループ
構成的方法の破綻
11．新しい分析用具
数学的方法を越えて
第３の科学研究法
エージェント。ベースのモデル分析
今後の課題


［定理１の証明］

ふたつの凸錐Ｃ(ａ)、Ｃ(ｂ)が原点を除いて共通部分を持たない。ひとつの座標のみで１、他は0となる点を結ぶ超平面をΠとしよう。二つの凸錐との共通部分を考えると、Ｃ(ａ)∩Π,Ｃ(ｂ)∩Πは、Πの閉凸集合で共通点を持たず、かつＣ(ａ),Ｃ(ｂ)は元の空間の非負象限に包含されているから、有界である。強い分離定理（たとえば、参考文献［１］、定理５．９）により、超平面Π内で、Ｃ(ａ)∩ΠとＣ(ｂ)∩Πを強く分離するΠ内の超平面（余次元２の超平面）Ψが存在する。超平面Πは元の空間の原点０を含まないから、もとの空間において原点０と超平面Ψとを含む余次元１の超平面Σで、凸錐Ｃ(ａ)、Ｃ(ｂ)を強く分離する超平面Σがある。このとき、Σへの法線ベクトルｓが存在して、Ｃ(ａ)に属する任意の０でない縦ベクトルｕについて<ｓ，ｕ>＞0、Ｃ(ｂ)に属する任意の０でない縦ベクトルｕについて<ｓ，ｕ>＜0となる。このとき、
　　ａ'＝ａ＋ｓ、ｂ'＝ｂ−ｓ
とおけば、
　　<ａ',ｖａ> ＞ <ａ，ｖａ>　かつ　<ｂ'，ｖｂ> ＞ <ｂ，ｖｂ>
となる。じっさい、ｖａがＣ(ａ)に属することから
　　<ａ',ｖａ> ＝ <ａ，ｖａ>＋<ｓ，ｖａ> ＞ <ａ，ｖａ>。
第２の不等式も同様に示せる。

　もしベクトルａ、ｂが正のベクトルならば、ベクトルｓの大きさを適当にとれば、ベクトル ａ'＝ａ＋ｓ、ｂ'＝ｂ−ｓ はともに非負ベクトルとなる(必要ならば、ｓに小さな正の数εを掛ければよい)。ベクトルｓを二つの非負ベクトルの差ｓ(＋)−s(−)となるよう分解しよう。このとき、甲から乙にs(−)を委譲し、乙から甲にｓ(＋)を委譲する交換により、甲の所有ベクトルはａ'に、乙の所有ベクトルはｂ'となり、それぞれｖａ、ｖｂにより評価してより高い値を得る（これが系の場合にあたる）。

　問題は、ベクトルａ、ｂがある財について0となる場合である。ｓ＝ｓ(＋)−s(−)とするとき、ｓ(＋)は乙から甲へ、s(−)は甲から乙への委譲分となる。ただ、もしｓ(＋)の正の要素がｂの0要素、s(−)の正の要素がａの0要素と同じ番号になるなら、委譲は無からある一定量の移譲ということになり、実現することが不可能となる。しかし、そういうことは起こらない。

　ベクトルｓの要素が正となる番号、つまりｓ(＋)の要素が正となるひとつの番号をｊとしよう。第ｊ財は、乙から甲へと移譲される。乙の所有ベクトルｂの第ｊ要素は正となることを示そう。ベクトルｂの0要素の集合をＳｂ＝｛j1,j2,・・・,jM｝としよう。定義からＣ(ｂ)には、ｅ(j1)、ｅ(j1)、・・・、ｅ(jM)が含まれる。ただし、ｅ(k)は第k要素のみ1、他の要素は0というベクトルである。もしj∈Ｓｂとすると、ベクトルｓのとり方から、Ｓｂの任意の番号ｊについて<ｓ，ｅ(j)> ＜ 0。これは、ｓj が正であることに無住する。したがってｊ∈｜Ｓｂ。ここにｂは非負ベクトルでｂｊ≠0。よってｂｊ＞0。これは、番号ｊにつき、ベクトルｂの第ｊ成分ｂｊが正であることを意味する。ベクトルｓの要素が負となる番号ｋについては、ベクトルａの第ｋ成分が正であることも同様に示せる。

　以上でｓ(−)の正の要素番号はａの正の要素番号であり、ｓ(＋)の正の要素番号はｂの正の要素番号であることが示せた。もし、ベクトルｓの要素でａあるいはｂの要素より絶対値の大きなものがあれば、小さな係数εをベクトルｓ全体に掛けることにより、ｓの要素で0でないものは、その絶対値がａあるいはｂの同じ位置の要素の値より小さくすることができる。そのようにｓを取り直したとき、交換を再定義すれば、この交換は非負ベクトルの範囲で実現可能となる。（証明終わり）

参考文献
［１］田中謙輔『凸解析と最適化理論』牧野書店、１９９４．


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